Kvantimekaniikka, todennäköisyyksien outo ja kiehtova tiede

 

Kvanttifysiikka on jotain kauneinta, mitä ihmiskunta on keksinyt.

Jos jotain on mahdollista tapahtua, se tapahtuu välttämättä, joka tapauksessa ja kaikesta huolimatta.

Tyhjästä ei vois syntyä mitään, paitsi maailma.

Totuus on vain yksi mielipide muiden joukossa, silti pitäisi välttää yksittäisen mielipiteen esittämistä totuutena.

Viimeistään 1900-luvun vaihteessa oli fyysikoille tullut selväksi, etteivät klassinen mekaniikka ja sähkömagnetismi riitä luonnon täydelliseen kuvaamiseen. Uusien havaintojen selittämiseksi kehittyi kokonaan uusi teoria. Sen kehitykseen osallistuneista useista fyysikoista tunnetuimmat ovat Albert Einstein, Max Planck, Niels Bohr, Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Wolfgang Pauli ja Paul Dirac.

Kvantittumisella tarkoitetaan sitä, että jotkin fysikaaliset suureet voivat saada vain diskreettejä arvoja. Mitattavien arvojen jakauma on siis epäjatkuva, toisin kuin klassisen fysiikan ja sähkömagnetismin mallit antavat ymmärtää.

Aalto-hiukkasdualismilla tarkoitetaan sitä, että kohteilla, joita on totuttu pitämään hiukkasina (elektronit, neutronit jne.) voidaan tavata aalloille tyypillistä käyttäytymistä. Toisaalta aalloilla, kuten sähkömagneettinen aaltoliike (valo), esiintyy hiukkasmaisia piirteitä. 

Heisenbergin epätarkkuusperiaate

Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaan tiettyjen mitattavien suureiden arvoja ei voida määrittää samanaikaisesti mielivaltaisella tarkkuudella. Tällaisia suurepareja ovat esimerkiksi hiukkasen paikka ja liikemäärä tai energia ja aika: mitä tarkemmin toinen näistä suureista saadaan mittauksessa selville, niin sitä epätarkemmaksi muuttuu tieto toisesta. Kun hiukkasta havainnoidaan, niin samalla myös tutkittava kvanttitila muuttuu, eikä se ole enää sama kuin ennen mittausta. Epätarkkuusperiaate mahdollistaa myös nollapiste-energian olemassaolon, jolloin mikään fysikaalinen systeemi ei voi koskaan olla täysin levossa ja saavuttaa energiaminimiään klassisen fysiikan mielessä. Nollaenergia voi olla suuri hyvin lyhyen ajanhetken. Systeemi voi siis lainata energiaa tyhjästä, mutta vain hyvin lyhyeksi ajaksi.

Heisenbergin epätarkkuus paikassa ja energiassa

 Tunneloituminen

 Kvanttitunneloituminen kuvaa kvanttimekaanista ilmiötä, jossa hiukkanen tunkeutuu esteen lävitse, vaikka klassisen fysiikan mukaisesti tämän ei pitäisi olla mahdollista. Kyseinen ilmiö on usean fysikaalisen ilmiön taustalla, esimerkiksi ydinfuusio selitetään tunneloitumisilmiönä. Tunneloituminen itsessään voidaan selittää epätarkkuusperiaatteen ja aalto-hiukkasdualismin avulla. 

Kaksoisrakokoe (Two slit experiment)

Jo 1900-luvun alussa (G.I.Taylor,1909) havaittiin, että kahden kapean, lähekkäisen raon läpi lähetetty valo teki varjostimelle interferenssikuvion. Kuvio syntyi, vaikka fotoneita lähetettiin yksitellen. Sama ilmiö havaittiin myös elektroneilla, joita on kuitenkin pidetty hiukkasina eikä aaltoliikkeenä. Interferenssikuvio muodostui myös, vaikka elektroneja ammuttiin yksitellen. Näytti siis siltä, että elektroni kulkee samanaikaisesti molemmista raoista. Jos toiselle raoista asennettiin mittari tunnistamaan hiukkanen, ilmiö hävisi. Eli partikkeli kulkee aina aaltona samanaikaisesti molemmista raoista, mutta jos sen tila paljastetaan, se alkaa käyttäytyä kuin hiukkanen.

Elektronit muodostavat interferenssikuvion, vaikka pitäisi tulla vain kaksi maksimia

De Broglien aallonpituus

De Broglie esitti 1924, että kaikilla hiukkasilla on aaltoluonne. Aallonpituus voidaan laskea kaavasta:

Hiukkasen energia

Schrödingerin aaltofunktio

Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikassa käytetty aaltoyhtälö, joka osoittaa, millainen aaltofunktio hiukkaseen liittyy, kun sillä on tietyn suuruinen energia ja se on tietynlaisessa potentiaalissa. Yhtälön kehitti itävaltalainen fyysikko Erwin Schrödinger vuonna 1926. 

Sitä kuvataan yleensä harmonisen värähtelijän tiloina, koska sen osittaisderivaatat eksponenttifunktiosta pystytään helposti ratkaisemaan. Lisäksi pystytään muodostamaan hyväksyttävä arvo aaltofunktion neliölle, joka sopimuksen mukaan kuvaa esim. hiukkasen todennäköisyyttä esiintyä tietyssä paikassa. Eksponenttifunktioesitys voidaan tarvittaessa esittää myös cos+isin-muodossa.

Aaltoyhtälö voidaan ratkaista joko paikan tai ajan suhteen. U-termi kuvaa potentiaalienergiaa.

Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on:

Ajasta riippuva yhtälö on:

Jos  hiukkasen aaltofunktiollla on sama arvo pisteessä x ja -x, sillä sanotaan olevan parillinen (positiivinen) pariteetti, muuten pariton (negatiivinen).

Hiukkanen potentiaalikaivossa (Particle in a box)

Tarkastellaan potentiaalikaivoa, jonka syvyys on V ja leveys L
Schrödingerin yhtälö potentiaalikaivon ulkopuolella voidaan esittää muodossa:

Merkitään:

Tälle tiedetään ratkaisu, joka on muotoa:

A-termi on kasvava, sen voidaan sanoa edustavan tilannetta kun potentiaalikaivoa lähestytään vasemmalta. B-termi on vähenevä, sen voidaan ajatella edustavan hiukkasen aaltofunktiota, kun kaivosta poistutaan oikealle. Tarkastellaan B-termiä:

Mitä syvempi kaivo on, (V-E)-tekijä on suuri, sitä jyrkemmin aaltofunktio oikealle vähenee. Mutta se on kuitenkin olemassa.
Aaltofunktion neliö esittää todennäköisyyttä havaita hiukkanen kaivon ulkopuolella. Jos seinämä ei ole äärettömän paksu, hiukkanen voi siis päästä seinän läpi vaikkei se pysty hyppäämään reunan yli (Tunneloituminen).

Tarkastellaan hiukkasta kaivon sisällä. Esimerkissä potentiaalikaivossa olevalla hiukkasella V=0, joten tilanne on sama kuin vapaalla hiukkasella.

Aaltofunktio voidaan kirjoittaa myös muotoon:

C ja D voivat olla kompleksisia.

Jos kaivo on äärettömän syvä, pitää hiukkasen energia reunalla olla nolla.
Tällöin arvolla 0, funktion pitää olla nolla. Sini-termi on nolla, C pitää olla nolla, jotta myös kosini-termi saadaan nollaksi. Kosini-termi siis häviää.

Tarastellaan pistettä L:

Tällöin:

Katsotaan energiatermiä:

Pitää ratkaista vielä D-arvo. Aaltofunktion neliö edustaa todennäköisyyttä, jonka kokonaisarvo pitää olla = 1, siis

 Siis aaltofunktio hiukkaselle syvässä potentiaalikaivossa on:

Kompleksikonjugaatti

Käyttämällä kompleksikonjugaatteja esitetyllä aaltofunktiosta saadaan neliöön korottamalla vakio, jonka voidaan esittää edustavan todennäköisyyttä.

Elektronin rataliike

Jos elektroni kiertäisi ydintä, se säteilisi ja putoaisi ytimeen. Tämän estämiseksi elektronin ajatellaan olevan seisovan aallon tilassa. Jos aaltofunktiota kuvataan kaavalla:

Kierroksen kuluttua tila on:

Tilojen  pitää olla sama koska sama piste, siis:

Tämä toteutuu jos:

Koska siis:

Saadaan kulmamomentin lauseke:

Siis momentin tapaan myös kulmamomentti on kvantittunut suure.

Sähkömagneettinen vuorovaikutus, Kvanttisähködynamiikka (QED)

Sähkömagneettinen vuorovaikutus on yksi Standardimallin neljästä vuorovaikutuksesta. Sen välittäjähiukkasia ovat fotonit. Vuorovaikutuksen tuntevat kaikki varatut hiukkaset. Sähkömagnetismi pitää atomit koossa ja aiheuttaa molekyylien kemialliset sidosvoimat.

Yksinkertaisessa Feynman-diagrammissa nähdään kentän synnyttämä virtuaalinen fotoni, joka välittää sähköisen vuorovaikutuksen kahden elektronin välillä.

 

Varausten q1 ja q2 välinen voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön ja se voidaan laskea kaavasta:

Heikko vuorovaikutus, (QED)

Heikolle vuorovaikutukselle ominainen piirre on se, että se pystyy vaihtamaan hiukkasen toiseksi. Ensimmäinen havaittu heikon vuorovaikutuksen ilmiö oli beetahajoaminen, jolle Enrico Fermi kehitti  teoreettisen kuvauksen 1930-luvulla. Heikon vuorovaikutuksen tuntevat kaikki leptonit ja kvarkit mukaan luettuna neutriinot.

 

Heikolla vuorovaikutuksella on kolmenlaisia välittäjähiukkasia. Kaksi W-bosonia, sähkövaraukseltaan positiivinen ja negatiivinen, sekä yksi sähköisesti neutraali Z-bosoni.  Näillä bosoneilla on hiukkasfysiikan skaalassa suuri massa: W-bosoneilla noin 80 GeV ja Z-bosonilla noin 91 GeV. Bosonien suuren massan takia heikon vuorovaikutuksen kantama on hyvin lyhyt, noin 10 potenssiin -17 m.

Heikko vuorovaikutus, b-miinus hajoaminen

Esimerkkinä beeta-miinus hajoaminen. Ytimestä siroaa elektroni ja anti-neutriino neutronin hajotessa protoniksi. Tarkemmin katsoen  atomin yksi alas-kvarkki muuttuu reaktiossa ylös-kvarkiksi. Voiman  välittää W- bosoni. Kvarkit on energialtaan suuruusluokkaa 1 GeV, W-bosoni on 80 GeV. Mistä se tulee? Se lainataan 0-energiakentältä Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaisesti. Koska se on suurienerginen, sen kantama ja elinikä ovat hyvin lyhyet.

 

On havaittu, että beeta-hajoamisessa syntyvän elektronin spin on aina alas eli vastapäivään valitun akselin suhteen.

 

Voidaan myös todeta, että vasenkätinen spin on toisesta suunnasta katsoen oikeakätinen.

1960-luvulla Sheldon Glashow, Abdus Salam ja Steven Weinberg onnistuivat yhdistämään sähkö ja heikon vuorovaikutuksen yhdeksi QED-teoriaksi ja saivat  siitä Nobelin fysiikanpalkinnon  vuonna 1979.

Vahva ydinvoima, Kvanttiväridynamiikka QCD

Vahva ydinvoima sitoo kvarkit yhteen. Se sitoo protonit ja neutronit yhteen. Se sitoo ytimet yhteen.

 

Vahvaa vuorovaikutusta kuvaava kenttäteoria on hiukkasfysiikan standardimalliin kuuluva kvanttiväridynamiikka (QCD). Se on analoginen sähkömagneettisen vuorovaikutuksen kvanttikenttäteorian (kvanttisähködynamiikka, QED) kanssa siten, että sähkövarausta vastaa värivaraus ja fotonia gluoni. Gluoneilla on kuitenkin itselläänkin värivaraus, kun taas fotoneilla ei ole sähkövarausta.

Atomin ytimessä protonien välillä on hyvin voimakas sähköinen poistovoima ja nukleonit ovat nopeassa liikkeessä. Silti ydin pysyy koossa. Protoneja sitoo toisiinsa vahva vuorovaikutus (värivoima). Se aiheuttaa vetovoiman myös neutronien välille samoin kuin neutronin ja protonin välille. Myös sähkömagneettisuus vaikuttaa, mutta vahva vuorovaikutus on paljon vahvempi ja siten hallitseva.

Kvarkeilla on värejä (ei oikeita, kuviteltuja): kolme väriä ja kolme niitä vastaavaa antiväriä. Eri väriset kvarkit vetävät toisiaan puoleensa (värivoima), kuten eri sähkövaraukset omaavat hiukkasetkin. Värivoima ulottuu myös hadronien ulkopuolelle ja tämä saa ytimen pysymään koossa (ydinvoima). Gluoni välittää värivoiman nukleonien kesken samoin kuin kvarkkien välisen vuorovaikutuksen. Kvarkkien värit koostuvat gluonien eri väreistä, gluonit voivat siirtyä kvarkista toiseen. Tällä tavalla kvarkki voi vaihtaa väriään. Kokonaisuutena hadronit ovat aina värineutraaleja: baryonissa on aina jokaista väriä, jolloin ne kumoavat toisensa. Mesonissa on väri ja sitä vastaava antiväri, jolloin värivaraus tulee nollaksi. Sen sijaan gluonit ovat värivarauksellisia: ne sisältävät jonkin värin ja antivärin, jotka eivät siis ole toistensa vastavärejä.

 

Väriteoria piti keksiä, koska Paulin kieltosäännön mukaan myöskään kvarkit eivät voi ytimessä olla samassa kvanttitilassa. 

Värivoima on pienillä etäisyyksillä (suurilla energioilla) heikompi kuin suurilla etäisyyksillä (tai pienillä energioilla). Tämä johtaa siihen, että kvarkkien irrottamiseksi toisistaan tarvittaisiin äärettömän suuri energia. Tämä energia kuitenkin riittää synnyttämään uusia värineutraaleja hiukkasia, joten kvarkkeja ei voida havaita vapaina.

Vahvassa vuorovaikutuksessa nukleonien välillä voiman luonne riippuu etäisyydestä. Jos etäisyys on 0,4–2 femtometriä, vallitsee vahva vetovoima. Jos taas etäisyys on alle 0,4 fm, vallitsee vahva hylkivä voima, joten ytimessä olevat nukleonit eivät kosketa toisiaan.

 

Tarkastellaan esim. deuterium-ytimen potentiaalikaivoa, jonka leveys on R ja syvyys Vo. Neutronin sidosenergia on E.

Aaltofunktio on muotoa:

Eli

E ja Vo ovat molemmat negatiivisia, Vo on suurempi, joten erotus on positiivinen

Se on harmonisen värähtelyn kaava kuvaten kiihtyvyyttä, joka liikkeelle vastakkainen pakottaen "jousta" takaisin päin. Ratkaisuna funktio kaivon sisällä:

Tarkastellaan funktiota ulkopuolella, Vo=0, k2 termi on negatiivinen koska E negatiivinen, joten oikeasta puolesta tulee positiivinen. Sen ratkaisu on eksponenttimuodossa:

C-termi kuvaa äärettömään nousevaa käyrää, sitä ei voi normalisoida todennäköisyydeksi. Se hylätään. Aaltofunktio sisällä ja ulkona on muotoa:

Potentiaalikaivon reunassa x=R pitää sisä- ja ulkofunktion olla sama eli

Lisäksi ensimmäisen derivaatan pitää olla sama ko. pisteessä. Näistä voidaan ratkaista sidosenergian suuruus. Deuteriumille E on noin -2.25 MeV (huom. Fe noin 8 MeV/nuklear), R on noin 2.1 fm, Vo on noin 36 MeV.

 

Vertailun vuoksi elektronin Vo=-13.6 eV vetyatomissa.

 

Tarkastellaan varaukseltaan positiivisen partikkelin fuusioimista ytimeen tai emittoitumista ytimestä. Kun x >> R, hiukkasen liike-energia on suurempi kuin culombinen potentiaali. Kun x < R hiukkanen on sidottu. Kun x=R, hiukkasen liike-energia ei normaalisti riitä potentiaalivallin ylittämiseen. Koska potentiaalivalli ei ole äärettömän korkea, aaltofunktiolla on kuitenkin arvo pisteessä x>R ja hiukkanen voi tietyllä todennäköisyydellä tunneloitua läpi.

 

Kuvassa alla esitetty miten vahva vuorovaikutus synnyttää ydinvoiman. Suorat viivat ovat kvarkkeja, moniväriset jouset gluoneja. Muita gluoneita, jotka pitävät yhdessä protoneita, neutroneita ja pioneita, ei ole esitetty.

 

Fuusio tähdissä

Aurinko fuusioi vetyä heliumiksi. Vetyä ei suoraan voi fuusioida. Eniten energiaa saadaan fuusioimalla deuteriumia ja tritiumia. Samalla saada vapaita neuroneita käytettäväksi jatkoreaktioissa.

Alussa syntyi fotonit ja elektronit ja kvarkit. Heliumia ehti fuusioitua 25% ja vetyä 75%. Sitten maailma laajeni ja jäähtyi liikaa ja heliumfuusio pysähtyi. Se jatkui uudestaan tähdissä. Gravitaatio veti hiukkasia yhteen, fuusioreaktio syntyi vastavoimaksi gravitaatiolle. Fuusioon tarvittiin neutroneita. Niitä synnytti heikko ydinvoima hajottamalla protoneita. Heikko vuorovaikutus oli tilastollisesti hidas, mikä piti aurinkoa pitkään hengissä. Auringossa fuusioituu 6x10^11 kg/s vetyä. Auringon massa on noin 2x10^30 kg. Kaikkia vetyä ei kuitenkaan pysty käyttämään, joten auringon iäksi tulee noin 10mrd vuotta.

Aurinko on nyt n. 4.6 mrd vuotta vanha. Se on tuottanut lähinnä heliumia. Muut alkuaineet ovat syntyneet vanhemmissa tähdissä. Jossain vaiheessa vety loppuu tähden kuumasta ytimestä, gravitaatio painaa lisää vetyä yhä kuumempaan ytimeen. Kun lämpötila on tarpeeksi suuri, helium-protonien kulombinen voima ylittyy ja helium voidaan fuusioida muiksi alkuaineiksi. Tiettyjen välivaiheiden ja beryllium-pumppauksen jälkeen voidaan saada pysyvää hiiltä (C12/6). Fuusioimalla uuteen alkuaineeseen heliumia saadaan parillisia alkuaineita aina nikkeliin saakka. C6->O8->Ne10->Mg12...->Ni56/28. Nikkeli on epävakaa ja voi hajota koboltiksi Co56/27, joka edelleen hajoaa pysyväksi raudaksi Fe56/26. Rauta ei voi enää fuusioitua miksikään muuksi. Tähteen muodostuu rautasydän.

 

Parittomia alkuaineita syntyy muissa harvinaisimmissa reaktioissa esim. C+C--> Na23/11+ H1/1.

 

Rautaa järjestysluvultaa isompia alkuaineita saadaan harvinaisissa reaktoissa, joissa rauta ensin saadaan ottamaan neutroneita ja sen jälkeen hajoamaan b+-hajoamisessa uudeksi alkuaineeksi (Fe56->Fe57->Fe58,>Fe59-->Co59/27). Koboltti edelleen nikkeliksi jne.

 

Riittävän isot tähdet voivat räjähtää supernovana. Tähden kuorikerrokset syöksyvät ytimeen ja elektronit puristuvat ytimeen ja protoneista syntyy neutroneita. Muodostuu neutronitähti. Neutronirunsaus synnyttää hallitsemattoman ydinräjähdyksen, voima riittää fuusioimaan kultaa, joka lentää avaruuteen muiden joukossa. Materia muodostaa planeettoja. Yksi niistä oli maa. Joku kaivaa sen kullan ja tekee siitä sormuksen. Se on joskus syntynyt supernovassa.

Spin

Spin on kvanttihiukkasten ominaisuus. Sen itseisarvo hiukkasilla yleensä 1/2 ja bosoneilla 1. Se on vektorisuure. Vektorina sillä on kaksi vastakkaista tilaa tarkasteltuun koordinaatistoon nähden. Spin 1/2-hiukkanen muuttuu 360 asteen kierrossa vastakkaiseen tilaan ja vasta 720 asteen kierron jälkeen samaan tilaan. Spin 1-hiukkanen on samassa tilassa 360 asteen kierron jälkeen ja spin 2-hiukkanen 180 asteen kierron jälkeen. Spin on tilastollinen ominaisuus. Esim. hiukkasilla, joilla on todettu spin suuntaan +x olevan 100%, on spin suuntaan -x 0% ja 50% suuntaan y tai -y.

Wolfgang Pauli ehdotti ensimmäisenä elektronin tilojen kahdentamista Spin-ominaisuudella 1924. Paulin kieltosäännön mukaisesti  kaksi elektronia voi olla samassa tilassa, joita erottaa vain vastakkainen spin.

Lomittuminen (Entanglement)

Lomittumisessa kahden hiukkasen tai hiukkasryhmän kvanttitilaa ei voi kuvata riippumatta toisesta. Esim. parinmuodostuksessa elektronin spin paikassa A mitattuna x-akselin suhteen on oikeakätinen, se paikassa B positronilta mitattaessa on välttämättä vasenkätinen. Mittaaminen muun akselin suhteen samanaikaisesti ei ole luvallista (Einstein-Podolsky-Rosen Paradox).